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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=3,点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合),过点D作DE⊥AB交射线AC于E,连接BE,点F是BE的中点,连接CD、CF、DF.(1)当点E在边AC上(点E与点C不重合
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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=3,点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合),过点D作DE⊥AB交射线AC于E,连接BE,点F是BE的中点,连接CD、CF、DF.
(1)当点E在边AC上(点E与点C不重合)时,设AD=x,CE=y.
①直接写出y关于x的函数关系式及定义域;
②求证:△CDF是等边三角形;
(2)如果BE=2
,请直接写出AD的长.
(1)当点E在边AC上(点E与点C不重合)时,设AD=x,CE=y.
①直接写出y关于x的函数关系式及定义域;
②求证:△CDF是等边三角形;
(2)如果BE=2
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▼优质解答
答案和解析
(1)①∵∠A=60°,DE⊥AB,
∴∠AED=90°-60°=30°,
∴AE=2AD=2x,
又AC=AE+CE,
即3=2x+y,
∴y=-2x+3;定义域:0<x<
;…(2分)
②证明:在Rt△ECB和Rt△EDB中,∠ECB=∠EDB=90°.
∵点F是BE的中点,
∴CF=DF=
BE=BF.…(1分)
∴∠FCB=∠CBF,∠FDB=∠DBF.…(1分)
∴∠CFE=2∠CBF,∠DFE=2∠DBF.
∴∠CFE+∠DFE=2(∠CBF+∠DBF).
即∠CFD=2∠CBA.…(1分)
∵∠A=60°,∴∠ABC=90°-60°=30°.
∴∠CFD=60°.…(1分)
∴△CDF是等边三角形.…(1分)
(2)∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=3,
∴BC=3tan60°=3
,
在Rt△BCE中,CE=
=
=1,
当点E在AC上时,AD=
AE=
(3-1)=1,
当点E在射线AC上时,AD=
AE=
(3+1)=2,
∴AD的长是1或2. …(一解正确得2分;两解正确得3分)
∴∠AED=90°-60°=30°,
∴AE=2AD=2x,
又AC=AE+CE,
即3=2x+y,
∴y=-2x+3;定义域:0<x<
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②证明:在Rt△ECB和Rt△EDB中,∠ECB=∠EDB=90°.
∵点F是BE的中点,
∴CF=DF=
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∴∠FCB=∠CBF,∠FDB=∠DBF.…(1分)
∴∠CFE=2∠CBF,∠DFE=2∠DBF.
∴∠CFE+∠DFE=2(∠CBF+∠DBF).
即∠CFD=2∠CBA.…(1分)
∵∠A=60°,∴∠ABC=90°-60°=30°.
∴∠CFD=60°.…(1分)
∴△CDF是等边三角形.…(1分)
(2)∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=3,
∴BC=3tan60°=3
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在Rt△BCE中,CE=
BE2−BC2 |
(2
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当点E在AC上时,AD=
1 |
2 |
1 |
2 |
当点E在射线AC上时,AD=
1 |
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∴AD的长是1或2. …(一解正确得2分;两解正确得3分)
看了 如图,在△ABC中,∠ACB...的网友还看了以下:
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