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设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
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设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
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答案和解析
由已知可设直线方程为y=kx,
∵直线与椭圆相交
∴将y=kx代入x^2 /4 + y^2 = 1 ,可得x^2 /4+（kx)^2=1
整理得,（1+4k)^2*x^2-1=0,由韦达定理得,x1+x2=0,x1x2=-1/(1+4k)^2
∵点A到直线的距离为 |k-0.5|
AD= －－－－
√(1+k^2)
BC两点间的距离为√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2=√（1+k^2）〔(x1+x2)^2-4(x1x2)〕
再求三角形面积即可Smax=1/2*|BC|*|AD|=|k-0.5|*2/(1+4k)=1/2〔1-6k/(1+4k)〕或=1/2〔1-2k+2/(4k+1)〕=1/2
∵直线与椭圆相交
∴将y=kx代入x^2 /4 + y^2 = 1 ,可得x^2 /4+（kx)^2=1
整理得,（1+4k)^2*x^2-1=0,由韦达定理得,x1+x2=0,x1x2=-1/(1+4k)^2
∵点A到直线的距离为 |k-0.5|
AD= －－－－
√(1+k^2)
BC两点间的距离为√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2=√（1+k^2）〔(x1+x2)^2-4(x1x2)〕
再求三角形面积即可Smax=1/2*|BC|*|AD|=|k-0.5|*2/(1+4k)=1/2〔1-6k/(1+4k)〕或=1/2〔1-2k+2/(4k+1)〕=1/2
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