已知焦距为4的椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F2为椭圆C的右焦点,AB是椭圆C上关于原点对称的两点,MN分别是AF2,BF2的中点,以线段MN为直径的圆经过原点O（0,0）（1）证明：点A在定圆上（2）若直线AB的

Question

已知焦距为4的椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F2为椭圆C的右焦点,AB是椭圆C上关于原点对称的两点,MN分别是AF2,BF2的中点,以线段MN为直径的圆经过原点O（0,0）（1）证明：点A在定圆上（2）若直线AB的倾斜角为30度,求椭圆C的离心率

Answer 1

(1)
2c = 4, c = 2, F2(2, 0)
令A(p, q), B(-p, -q), 则：p²/a² + q²/b² = 1 (i)
M((c +p)/2, q/2), N((c - p)/2, -q/2)
以线段MN为直径的圆经过原点O, 则OM与ON相互垂直, OM² + ON² = MN²
[(c + p)/2 - 0]² + (q/2 - 0)² + [(c - p)/2 - 0]² + (q/2 - 0)² = [(c + p)/2 - (c - p)/2]² + (q/2 + q/2)²
整理得 p² + q² = c² = 4
即A在以原点为圆心,半径为2的圆上.
(2)
AB的斜率k = tan30° = 1/√3
不妨设A在第一象限, 其横坐标为2cos30° = √3, 纵坐标2sin30° = 1, A(√3, 1)
代入(i): 3/a² + 1/b² = 1
a² - b² = c² = 4
消去b: (a² - 2)(a² - 6) = 0
a² = 6 (舍去a² = 2, 此时b = 0)
e² = c²/a² = 4/6 = 2/3
e = √6/3