已知P是抛物线 y^2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3)^2+y^2=1 的切线,切点分别为M、N,则/MN/ 的最小值是__________ 需说明详细过程

Question

已知P是抛物线 y^2=2x上的一个动点,过P作圆(x-3)^2+y^2=1 的切线,切点分别为M、N,
则/MN/ 的最小值是__________ 需说明详细过程

Answer 1

可设点P(2a²,2a).
易知,圆C：(x-3)²+y²=1的圆心C(3,0),半径r=1.
设PC与MN交于点H,
易知,⊿MCH∽⊿PCM
∴MH∶PM=MC∶PC
∴MH=PM/PC
又PM²=PC²-1
∴MN=2√[1-(1/PC²)]
∴问题可化为求PC²的最小值.
易知PC²=(2a²-3)²+(2a)²
=4(a²-1)²+5≧5.
等号仅当a²=1时取得,
∴PC²min=5
∴MNmax=2√[1-(1/5)]=(4√5)/5