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在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm若把矩形折叠,使B与点D重合.求:折痕EF的长.告诉我怎样求BEFD是菱形
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在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm若把矩形折叠,使B与点D重合.求:折痕EF的长.告诉我怎样求BEFD是菱形
▼优质解答
答案和解析
方法一:
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
显然有:B、D关于EF对称,∴EF为BD的垂直平分线,∴BO=DO=BD/2.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD=BC=8cm,
∴由勾股定理,有:BD=√(AD^2+AB^2)=√(64+36)=10(cm),∴DO=5cm.
∵∠EDO=∠BDA、∠DOE=∠DAB=90°,∴△DOE∽△DAB,∴EO/AB=DO/AD,
∴EO=AB×DO/AD=6×5/8=(15/4)(cm).
∵ABCD是矩形,∴DE∥FB,∴∠DEF=∠BFE.
∵EO⊥BD、BO=DO,∴∠DEF=∠BEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF.
由BE=BF、BO⊥EF,得:EF=2EO=(15/2)cm.
方法二:
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
过A作AG∥EF交BC于G,令AG与BD相交于H.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD=BC=8cm.
由勾股定理,有:BD=√(AD^2+AB^2)=√(64+36)=10(cm).
由三角形面积公式,有:△ABD的面积=(1/2)BD×AH=(1/2)AD×AB,
∴AH=AD×AB/BD=8×6/10=(24/5)(cm).
∵ABCD是矩形,∴AB⊥BG,∴由射影定理,有:AH×AG=AB^2=36,
∴AG=36/(24/5)=(15/2)(cm).
∵ABCD是矩形,∴AE∥GF,又AG∥EF,∴AEFG是平行四边形,∴EF=AG=(15/2)cm.
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
显然有:B、D关于EF对称,∴EF为BD的垂直平分线,∴BO=DO=BD/2.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD=BC=8cm,
∴由勾股定理,有:BD=√(AD^2+AB^2)=√(64+36)=10(cm),∴DO=5cm.
∵∠EDO=∠BDA、∠DOE=∠DAB=90°,∴△DOE∽△DAB,∴EO/AB=DO/AD,
∴EO=AB×DO/AD=6×5/8=(15/4)(cm).
∵ABCD是矩形,∴DE∥FB,∴∠DEF=∠BFE.
∵EO⊥BD、BO=DO,∴∠DEF=∠BEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF.
由BE=BF、BO⊥EF,得:EF=2EO=(15/2)cm.
方法二:
不失一般性,设E、F分别在AD、BC上.
过A作AG∥EF交BC于G,令AG与BD相交于H.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB、AD=BC=8cm.
由勾股定理,有:BD=√(AD^2+AB^2)=√(64+36)=10(cm).
由三角形面积公式,有:△ABD的面积=(1/2)BD×AH=(1/2)AD×AB,
∴AH=AD×AB/BD=8×6/10=(24/5)(cm).
∵ABCD是矩形,∴AB⊥BG,∴由射影定理,有:AH×AG=AB^2=36,
∴AG=36/(24/5)=(15/2)(cm).
∵ABCD是矩形,∴AE∥GF,又AG∥EF,∴AEFG是平行四边形,∴EF=AG=(15/2)cm.
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