二重积分题：由柱面x^2+y^2=3,和曲面z=2+x^2+y^2及z=1-x^2-y^2所围成的立体体积.

Question

二重积分题：由柱面x^2+y^2=3,和曲面z=2+x^2+y^2及z=1-x^2-y^2所围成的立体体积.

Answer 1

所围成的立体体积=∫∫[(2+x²+y²)-(1-x²-y²)]dxdy (D表示x²+y²=3所围成的区域)
=∫∫(1+2x²+2y²)dxdy
=4∫dθ∫(1+2r²)rdr (应用极坐标变换和对称性)
=4*(π/2)∫(r+2r³)rdr
=2π[(√3)²/2+(√3)^4/2]
=12π.