如图,点o为坐标原点,直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点,试判断AB与抛物线C的位置关系,并给出证

Question

如图,点o为坐标原点,直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F.
设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点,试判断AB与抛物线C的位置关系,并给出证明

Answer 1

二者相切
抛物线：y^2=4x
因此,焦点为F=(1,0)
设A=(x0,y0)
那么,圆的半径
r
=√[(x0-1)^2+(y0)^2]
=√[(x0-1)^2+4x0]
=(x0+1)
因此,B=(1-r,0)=(-x0,0)
那么,
lAB的斜率为：
k
=(y0-0)/(x0+x0)
=y0/(2x0)
=1/√x0
考虑上半段：y=2√x
在A的切线的斜率：
k'=y'|(x0,y0)=1/√x0
二者斜率相等
因此,lAB就是抛物线在点A的切线
即,二者相切
有不懂欢迎追问