关于微观经济学无差异曲线的问题看到了一句话,是效用函数的凹性正对应于无差异曲线的凸性.如果无差异曲线不是严格凸的或者效用函数不是严格凹的,一阶条件也可能有多个解,最优解可能

Question

关于微观经济学无差异曲线的问题
看到了一句话,是效用函数的凹性正对应于无差异曲线的凸性.如果无差异曲线不是严格凸的或者效用函数不是严格凹的,一阶条件也可能有多个解,最优解可能有多个.这里面效用函数和无差异曲线的凸凹性怎么区分,效用函数在这里又是什么?

Answer 1

　　首先需要回顾一下定义,
　　无差异曲线：使消费者处于同一个效用下的所有消费组合的集合.换句话说,对于一条无差异曲线而言,上面的每一个点对于消费者来说带来的效用都是一样的,是“没有差异的”.如果给出了消费者效用函数,给定一个效用水平,形象地来看,我们可以通过描点的方式把这些点在坐标图中一个一个找出来,它们共同构成了一条无差异曲线.
　　通过上面的定义我们可以知道,效用函数决定了无差异曲线的形状.无差异曲线其实类似于等高线,等高线是在二维平面上描绘具有相同高度的空间中的点对应到地表上的情况,无差异曲线则是在二维平面上描绘具有相同效用值的消费组合.（当然这里我们把问题简化为只有两种消费品的情况,也就是书上常见的例子.）
　　那么为什么凹的效用函数会导致凸的无差异曲线呢,我用低维空间的例子来说明.
　　简单地讲什么叫凹函数和凸函数：想象一个函数曲线,如果在函数上任意两点之间连接一条直线,倘若这条直线完全处于两个端点之间的函数曲线的下方,那么这样的函数就叫做凹函数.反过来看,如果这条直线完全处于函数曲线的上方,那么这样的函数就叫做凸函数.（注意这是国际标准定义,和国内的高数教材上的定义不一样.）
　　凹函数的具体例子：比如一个倒扣的碗,假如函数形状和碗壁一样,任意连接碗壁上的两点,所得的直线一定在碗的内部,也就是在两点之间的函数曲面下方,那么这是一个凹函数.
　　凸函数的具体例子：一个正常摆放的碗,任意连接碗壁上的两点,所得的直线一定在两点间函数曲线的上方,那么这是一个凸函数.或者教科书上常见的无差异曲线,显然也是凸函数.
　　为什么凹的效用函数决定了凸的无差异曲线呢?
　　回忆无差异曲线和效用函数之间的关系,大致可以想象出来.如果效用函数像倒扣的碗一样,是一个凹函数,当然不能是整个碗,只能是竖着劈开一刀剩余一半的碗的形状（因为效用函数是非递减的）.那么上面所有高度相等的点的连线所对应的桌面上的位置,是不是就像地图上的等高线一样?如果给出了（0,0）原点,它们一定是凸向原点的.这种凸向原点的形状不正就是二维平面的凸函数的形状么.所以,通过这个简陋的对比,应该会发现凹的效用函数决定凸的无差异曲线的原因了.
　　这个结论在数学上有非常严格的证明,而且也并不局限于三维空间,也就是说在有多种消费品的效用函数情况下,结论也是成立的.
　　至于另外一个问题,不是严格的凹或者不是严格的凸,形象地想象,就是函数曲线上出现了一段直线,连接这段直线上的两点得到的直线就在函数曲线上,既不在函数的上方也不在函数的下方,所以这时候函数就不是严格的凹或者严格的凸了.那为什么一阶条件有多个解呢?因为我们的一阶条件一般不都是函数的一阶导数等于0（或者某个常数）么?由于直线上的倒数处处相等,就会出现一旦有最优解（也就是满足一阶条件的点）在这段直线上,那么其它直线上的点也是最优解,因为它们导数相同.