后天有初等数论的考试,设m,n为正整数且m为奇数,证明：若a为偶数,则a^m-1与a^+1互素

Question

后天有初等数论的考试,设m,n为正整数且m为奇数,证明：若a为偶数,则a^m-1与a^+1互素

Answer 1

设m=kn+r, r2
a^m-(-1)^A=k(b+(-1)^x)+[-(-1)^x]^u-(-1)^A＝k(b+(-1)^x) +(-1)^u^(x+1) -(-1)^A]
a^n-(-1)^B=k(b+(-1)^x)+[-(-1)^x]^v-(-1)^B＝k(b+(-1)^x) +(-1)^v^(x+1) -(-1)^B]
u是偶数,A=u
u是奇数,A与x+1同奇偶 x是偶数,则A是奇数＝u;　x是奇数,A是偶数,(b-1)|b^u-1
x是偶数则A＝u=m/(m,n),B＝v=n/(m,n)即可
x是奇数则A＝B＝2即可
综合起来即：（a^m-1, a^n-1)=a^(m,n) -1
　　　　(a^m-(-1)^[m/(m,n)], b^n-(-1)^[n/(m,n)]=a^(m,n) +1
　　　　　其它情况(a^m+(-1)^x, a^n+(-1)^y) =：a是偶数,则＝1；a是奇数,则＝2