极端性原理平面上有n个点,其中任三个点都可组成三角形,且其面积均超不过1 ,求证：存在一个面积不超过4的三角形,它能覆盖住所有n个点.

Question

极端性原理
平面上有n个点,其中任三个点都可组成三角形,且其面积均超不过1 ,求证：存在一个面积不超过4的三角形,它能覆盖住所有n个点.

Answer 1

考虑三个点能组成的面积最大的三角形,设为三角形ABC.
过A作直线平行于BC,设直线为l.那么,如果有一个点D与B,C两点处于直线l的两侧的话,三角形DBC的面积就大于三角形ABC的面积,与三角形ABC的面积最大性矛盾.所以,所有点对于直线l来说都在同一侧.
同理,过B作直线平行于AC,过C作直线平行于AB,我们也有同样的结论.所以,这些点都在这三条直线围成的三角形内,记为三角形XYZ.
由图容易知道,三角形XYZ的中位线组成的三角形就是三角形ABC,所以三角形XYZ的面积就是三角形ABC的四倍,也就是说面积不超过4.同时,三角形XYZ覆盖了所有的点.这就是一个符合要求的三角形.