已知Sn使等比数列{an}的前n项和,S4、S10、S7成等差数列.求证a3、a7、a6成等差数列.

Question

已知Sn使等比数列{an}的前n项和,S4、S10、S7成等差数列.求证a3、a7、a6成等差数列.

Answer 1

题目应该有误.
证明
（1）q=1,Sn=na1,
则 S4、S10、S7不成等差数列
所以 q≠1
（2）q≠1
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
S4=a1(1-q^4)/(1-q)
S10=a1(1-q^10)/(1-q)
S7=a1(1-q^7)/(1-q)
S4、S10、S7成等差数列
2S10=S4+S7
2(1-q^10)=(1-q^4)+(1-q^7)
2q^10=q^4+q^7
两边同时除以q^2
∴ 2q^8=q^2+q^5
∴ 2a1*q^8=a1*q^2+a1*q^5
即 2a9=a3+a6
∴ a3,a 9,a6成等差数列