设K是奇数,求证:方程x^2+2x+2k=0没有有理根

Question

设K是奇数,求证:方程x^2+2x+2k=0没有有理根

Answer 1

假设等式存在有理根x=a/b,其中a,b为互素的整数,则代入方程得：
(a/b)^2+2(a/b)+2k=0
a^2+2ab+2k*b^2=0
a=b+或-b根号（1-2k)
因为a是整数,所以根号（1-2k）是整数,所以1-2k是平方数
因为k是奇数,所以可以设为2n+1,n是整数
1-2k=1-2(2n+1)=-4n-1>=0,所以n