在Rt三角形ABC中,角BAC等于90度,AB=AC,BD是三角形ABC的平分线,CE垂直BD,交BD的延长线于点E求证：BD=2CE

Question

在Rt三角形ABC中,角BAC等于90度,AB=AC,BD是三角形ABC的平分线,CE垂直BD,交BD的延长线于点E求证：BD=2CE

Answer 1

延长CE交BA的延长线于F,连FD并延长交BC于G.
∵AB⊥AC、AB＝AC,∴∠DCG＝∠ABG＝45°.
∵CA⊥BF、BE⊥CF、∴D是△BCF的垂心,∴FG⊥BG,又∠ABG＝45°,∴BG＝FG.
∵DG⊥CG、∠DCG＝45°,∴DG＝CG.
∵BG＝FG、DG＝CG、∠BGD＝∠FGC＝90°,∴Rt△BDG≌Rt△FCG,∴BD＝FC.
∵∠FBE＝∠CBE、BE⊥FC,∴FC＝2CE.
由BD＝FC、FC＝2CE,得：BD＝2CE.