向量组证明题 设向量组（1）a1,a2,.as,能由向量组（2）b1,b2,.bt线性表示为（a1,a2,.as）=（b1,b2,.bt）A,其中A为t*s矩阵,且b1,b2,.bt线性无关,证明a1,a2,.as线性无关的充分必要条件R（A）=s

Question

向量组证明题
设向量组（1）a1,a2,.as,能由向量组（2）b1,b2,.bt线性表示为（a1,a2,.as）=（b1,b2,.bt）A,其中A为t*s矩阵,且b1,b2,.bt线性无关,证明a1,a2,.as线性无关的充分必要条件R（A）=s

Answer 1

必要性：假设R（A）＜s,则线性方程组Ax＝0有非零解,设x＝（x1,……,xs）’是一个非零的s元列（其中x1,……,xs为纯量）满足Ax＝0,则
（a1,……,as）x＝（b1,……,bt）Ax＝0,
即a1,……,as线性相关,矛盾.
充分性：设s元列x＝（x1,……,xs）’满足
（a1,……,as）x＝（b1,……,bt）Ax＝0,
因为b1,……,bt线性无关,所以Ax＝0,又由假定R（A）＝s,所以这个方程组只有零解,即x＝0,可见a1,……,as线性无关.
注：当s＞t即A的列数大于行数时,Ax＝0一定有非零解,从而a1,……,as一定线性相关.换言之,若a1,……,as线性无关,则s≤t.