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一道关于向量组线性的证明题,证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.
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一道关于向量组线性的证明题,
证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.
证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.
▼优质解答
答案和解析
必要性.
已知向量b可由向量组a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一.设b=k1a1+k2a2+……+krar.
假设向量组a1,a2,...,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0
所以,b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾.
所以,向量组a1,a2,...,ar线性无关
充分性.
已知向量组a1,a2,...,ar线性无关.假设向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示式不唯一,
设b=m1a1+m2a2+……+mrar与b=n1a1+n2a2+……+nrar是两种不同的表示,则(m1-n1)a1+(m2-n2)a2+……+(mr-nr)ar=0,其中m1-n1,m2-n2,……,mr-nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾.
所以向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示法唯一
已知向量b可由向量组a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一.设b=k1a1+k2a2+……+krar.
假设向量组a1,a2,...,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0
所以,b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾.
所以,向量组a1,a2,...,ar线性无关
充分性.
已知向量组a1,a2,...,ar线性无关.假设向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示式不唯一,
设b=m1a1+m2a2+……+mrar与b=n1a1+n2a2+……+nrar是两种不同的表示,则(m1-n1)a1+(m2-n2)a2+……+(mr-nr)ar=0,其中m1-n1,m2-n2,……,mr-nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾.
所以向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示法唯一
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