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19.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ).(1)求a*(a+2b)的取值范围(2)若α-β=π/3 ,求|a+2b|
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19.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ).
(1)求a*(a+2b)的取值范围
(2)若α-β=π/3 ,求|a+2b|
(1)求a*(a+2b)的取值范围
(2)若α-β=π/3 ,求|a+2b|
▼优质解答
答案和解析
a、b两点都在圆心在原点半径为1的单位圆上
原式=a*a+2a*b=1*1+2*1*1cos(A-B)
因此最大值为角A=角B 即最大值为3
当cos(A-B)=-1时最小,最小值为-1
因此取值范围为[-1,3]
A-B=60度
A=60度+b
因此点a为(cos60+B,sin60+B)
b为(cosB,sinB)
2b为(2cosB,2sinB)
因此a+2b为(2cosB+cos(60+B),2sinB+sin(60+B))
用平行四边形法
2cosB+cos(60+B)=2cosB+cos60cosB-sin60sinB=2cosB+1/2cosB-根号3/2sinB=(5cosB-根号3sinB)/2
2sinB+sin(60+B)=2sinB+根号3/2cosB+1/2sinB=(5sinB+根号3cosB)/2
因此|a+2b|=根号((5cosB-根号3sinB)/2)^2+(5sinB+根号3cosB)/2)^2=根号[(25+3)/4]=根号7
原式=a*a+2a*b=1*1+2*1*1cos(A-B)
因此最大值为角A=角B 即最大值为3
当cos(A-B)=-1时最小,最小值为-1
因此取值范围为[-1,3]
A-B=60度
A=60度+b
因此点a为(cos60+B,sin60+B)
b为(cosB,sinB)
2b为(2cosB,2sinB)
因此a+2b为(2cosB+cos(60+B),2sinB+sin(60+B))
用平行四边形法
2cosB+cos(60+B)=2cosB+cos60cosB-sin60sinB=2cosB+1/2cosB-根号3/2sinB=(5cosB-根号3sinB)/2
2sinB+sin(60+B)=2sinB+根号3/2cosB+1/2sinB=(5sinB+根号3cosB)/2
因此|a+2b|=根号((5cosB-根号3sinB)/2)^2+(5sinB+根号3cosB)/2)^2=根号[(25+3)/4]=根号7
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