一道关于等腰三角形的数学几何问题等腰三角形ABC,AB=AC,P、Q分别是线段BA、线段AC的延长线上的动点,PQ交BC于D点,且BP=CQ,PE⊥BC,求证：DE长度始终不变.

Question

一道关于等腰三角形的数学几何问题
等腰三角形ABC,AB=AC,P、Q分别是线段BA、线段AC的延长线上的动点,PQ交BC于D点,且BP=CQ,PE⊥BC,求证：DE长度始终不变.

Answer 1

证明：作PF∥AC,交BC于点F
∴∠PFE=∠ACB
∵等腰三角形ABC,AB=AC
∴∠PBE=∠ACB
∴PBE=∠PFE
又PE⊥BC,PE为公共边
∴△PBE≌△PFE（AAS)
∴BE=BF,BP=PF=CQ
∵PF∥AC
∴∠FPD=∠CQD
又∠PDF=∠QDC,PF=CQ
∴△PDF≌△QDC（AAS)
∴DF=DC
∵BE=BF,DF=DC
∴DE=BF+DF=BE+DC=BC/2
∵BC长度不变
∴DE长度等于BC的一半,也始终不变