关于三角形的四心共线若三角形四心共线（内、外、垂、重）,怎么证该三角形为等腰三角形

Question

关于三角形的四心共线
若三角形四心共线（内、外、垂、重）,怎么证该三角形为等腰三角形

Answer 1

任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线;三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)
作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H),连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
∵ BD是直径 ; ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ; ∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC ; ∴ DA‖CH,DC‖AH ; ∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC .∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ; ∴ OM= DC ; ∴ OM= AH
∵ OM‖AH ; ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ;∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合 ; ∴ O、G、H三点在同一条直线上
假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC
∴CB=CA.∴四心共线（内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形