如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，OA、OC是方程x2-2（k+3）+12k=0的两根，且OA>OC，点D在BC上，直线l平分矩形OABC的面积．（1）若S△ACD=6时，求D点坐标；（2）若直线l经过

Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，OA、OC是方程x²-2（k+3）+12k=0的两根，且OA>OC，点D在BC上，直线l平分矩形OABC的面积．

（1）若S_△ACD=6时，求D点坐标；
（2）若直线l经过点D，求直线l的解析式；
（3）是否存在直线l，使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似？如果存在，直接写出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设方程x²-2（k+3）x+12k=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2（k+3），x₁•x₂=12k，
∵

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10²，
∴[2（k+3）]²-2×12k=10²，
解得k₁=4，k₂=-4（不合题意舍去），
∴k=4，
解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，
由题意得OA=8，OC=6．
设D点坐标为（x，6）．
∵S_△ACD=6，
∴(1)/(2)x•6=6，
解得x=2，
∴D点坐标为（2，6）；
（2）∵直线l平分矩形OABC的面积，
∴直线l经过矩形的中心，即对角线AC的中点．
∵A（8，0），C（0，6），
∴对角线AC的中点坐标是（4，3）．
设直线l的解析式为y=mx+n，
∵直线l经过点（4，3），D（2，6），
∴

4m+n=3

2m+n=6

，
解得

m=-(3)/(2)

n=9

，
∴直线l的解析式为y=-(3)/(2)x+9；
（3）存在直线l，能够使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似．
设直线l交x轴于点M，交y轴于点N，如图．
△ABD中，∵∠B=90°，AB=6，BD=BC-CD=8-2=6，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴当△OMN与△ABD相似时，△OMN也是等腰直角三角形．
分两种情况：
①如果点N在y轴正半轴上，设直线l的解析式为y=-x+p，
将点（4，3）代入，得3=-4+p，解得p=7，直线l的解析式为y=-x+7；
②如果点N在y轴负半轴上，设直线l的解析式为y=x+q，
将点（4，3）代入，得3=4+q，解得q=-1，直线l的解析式为y=x-1；
综上所述，存在直线l，使l与坐标轴围成的三角形与△ABD相似，此时直线l的解析式为l₁：y=-x+7或l₂：y=x-1．