跟三角形四心有关的题,急啊三角形ABC的内心为I,外心为O,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,连结AI并延长,交圆O于D.求证；1.AI*ID=2Rr；2.OI的平方=R的平方-2Rr

Question

跟三角形四心有关的题,急啊
三角形ABC的内心为I,外心为O,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,连结AI并延长,交圆O于D.求证；1.AI*ID=2Rr；2.OI的平方=R的平方-2Rr

Answer 1

1）原式2R:ID=AI:r
而ID是等于BD的（由三角形DBI的两个底角相等很容易看出）
那么上式2R:BD=AI:r
连DO并延长和外接圆交于E,设I向AB做垂线的垂足为F,由三角形EDB相似于三角形AIF就可以得到
DE:BD=AI:IF,也就是2R:BD=AI:r,所以原式得证
2）双向延长OI交外接圆于G和H,AI*ID=GI*HI=（R+OI）*（R-OI）=R^2-OI^2
再把第一问结论代进去就有了2Rr=R^2-OI^2,ok了