证明2^(n+2)·3^n+5n-4能被25整除（n为正整数）

Question

证明2^(n+2)·3^n+5n-4 能被25整除（n为正整数）

Answer 1

求证：2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
先找出原解的错误:6^n-1≠5+5^2+...+5^n,显然当n=2时,左右不相等
其实6^n-1=5(1+6+36+……6^n-1)
【证】
方法I：单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}＋5n =4(6^n-1)＋5n
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数,排列组合你应该学过吧,那对C就比较了解. Cnm=n!/m!(n-m)!
然后用同余法
4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n ),5^2项以上都可以被25整除,然后处理剩余项目,4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除,两部分都能被25整除,所以2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
方法II：数学归纳
1.当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除
2.当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除
3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述,2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
第一种方法如果不懂,可以参看 http://zhidao.baidu.com/question/13058641.html
第二种方法是用代数方法处理数论问题的一般方法.