8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)

Question

8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)

Answer 1

∫(0,x )f(t)t^2 dt=f(x)+3x ,令x=0,那么：f(0)=0
两边求导得：
f(x)x^2=f'(x)+3,f'(x)=f(x)x^2-3,这是一阶线性方程,通解为：
f(x)=e^(x^3/3)(C-3∫e^(-x^3/3))dx),代入f(0)=0
f(x)=(-1/3)e^(x^3)∫(0,x)e^(-t^3)dt
e^(-t^3)的原函数不能用初等函数表示出来,f(x)就这样表示了