数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果

Question

数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．

Answer 1

（1）△DEP∽△CPG．
∵∠EPG=90°，
∴∠EPD+∠GPC=90°，∠EPD+∠DEP=90°，
∴∠DEP=∠GPC，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DEP∽△CPG；

（2）∵△DEP∽△CPG，
∴S_△DEP：S_△CPG=9：25，
∴DP：GC=3：5，
设PD=3x，则CG=5x，PC=5-3x，DE=(3)/(5)PC=3-(9)/(5)x，
∴EP=2+(9)/(5)x，
∴Rt△DEP中，（3-(9)/(5)x）²+（3x）²=（2+(9)/(5)x）²，
解得x₁=(5)/(3)（舍去），x₂=(1)/(3)，
∴DP=3x=1，
即当DP=1时，△DEP与△CPG面积的比是9：25；

（3）由题可得，∠B=∠C=∠EPF=60°，
∴∠BEP+∠BPE=∠CPF+∠BPE=120°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BEP∽△CPF，
设EP=3x，FP=5x，则FC=5-5x，EB=5-3x，BP=(3)/(5)CF=3-3x，
∴PC=2+3x，
∴(EB)/(PC)=(5-3x)/(2+3x)=(3)/(5)，
解得x=(19)/(24)，
∴PC=2+3x=(35)/(8)．
即当PC=(35)/(8)时，△BEP与△CPF面积的比是9：25．