等腰△ABC，△DCE中，∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，连接BE，取BE的中点P，连接PA，PD．①如图1，当∠BAC=∠CDE=90°时，猜想并验证PA与PD的数量关系和位置关系．②如图2，当∠BAC≠∠CDE≠90°时，

Question

等腰△ABC，△DCE中，∠BAC+∠CDE=180°，AB=AC，DC=DE，连接BE，取BE的中点P，连接PA，PD．
①如图1，当∠BAC=∠CDE=90°时，猜想并验证PA与PD的数量关系和位置关系．
②如图2，当∠BAC≠∠CDE≠90°时，猜想并验证PA与PD的位置关系．

Answer 1

①PA=PD且PA⊥PD，理由是：
如图1，取BC的中点H，CE的中点I，连接AH、PH、PI、DI，
∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC，DC=DE，
∴△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，DI⊥CE，
∴∠AHC=∠DIC=90°，
∵P、H、I分别是BE、BC、EC的中点，
∴PH、PI是△BEC的中位线，AH=(1)/(2)BC=CH，DI=(1)/(2)BC=CI
∴PH∥EC，PI∥BC，
∴四边形PHCI是平行四边形，
∴PH=CI，PI=CH，∠PHC=∠PIC，∴AH=PI，∠AHP=∠PID，PH=DI，
∴△AHP≌△PID，
∴AP=PD，∠HAP=∠DPI，
∵∠HAP+∠APH+∠AHP+∠AHB=180°+90°=270°，
∴∠HAP+∠APH+∠PHB=270°，
∴∠DPI+APH+∠IPH=270°，
∴∠APD=360°-270°=90°，
∴PA⊥PD；
（2）如图2，AP⊥PD，理由是：
取BC的中点H，EC的中点I，连接AH、PH、PI、DI，
同理可得：四边形PHCI是平行四边形，
∴PI=CH，PH=CI，
∵AB=AC，H是BC的中点，
∴AH平分∠BAC，AH⊥BC，
∴∠HAC=(1)/(2)∠BAC，∠AHC=90°，
同理，∠CDI=(1)/(2)∠CDE，∠DIC=90°，
∵∠BAC+∠CDE=180°，
∴∠HAC+∠CDI=90°，
∵∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠CDI=∠HCA，
∵∠AHC=∠DIC=90°，
∴△AHC∽△CID，
∴(AH)/(CI)=(CH)/(DI)，
∴(AH)/(PH)=(PI)/(DI)，
∵∠AHC=∠DHI，∠PHC=∠PIC，
∴∠AHC-∠PHC=∠DIC-∠PIC，
即∠AHP=∠DIP，
∴△AHP∽△PID，
∴∠HAP=∠DPI，
∵∠APH+∠HAP+∠AHP+∠AHB=180°+90°=270°，
∴∠HAP+∠APH+∠PHB=270°，
∵PI∥BC，
∴∠PHB=∠HPI，
∴∠DPI+∠APH+∠HPI=270°，
∵∠DPI+∠APH+∠HPI+∠APD=360°，
∴∠APD=90°，
∴AP⊥PD．