已知函数f（x）=x-2a−1x-2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x-(2a−1)/(x)-2alnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝1+(2a−1)/(x2)−(2a)/(x)，
依题意有：f'（2）=0，即1+(2a−1)/(4)−a＝0，
解得：a＝(3)/(2)
检验：当a＝(3)/(2)时，
f′(x)＝1+(2)/(x2)−(3)/(x)＝(x2−3x+2)/(x2)＝((x−1)(x−2))/(x2)
此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
满足在x=2时取得极值
综上：a＝(3)/(2)．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x，）≥0
f′(x)＝1+(2a−1)/(x2)−(2a)/(x)＝(x2−2ax+(2a−1))/(x2)＝((x−(2a−1))(x−1))/(x2)，
令f′（x）=0，
得：x₁=2a-1，x₂=1，
①当2a-1≤1即a≤1时，
函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（1）=2-2a≥0，
解得：a≤1；
②当2a-1＞1即a＞1时，
函数f（x）在[1，2a-1]单调递减，在[2a-1，+∞）单调递增，
于是f_min（x）=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合题意，
此时：a∈Φ；
综上所述：实数a的取值范围是a≤1．