如图所示，在竖直空间建立直角坐标系xOy，在第一象限和第四象限内存在竖直向上的，电场强度大小为E1的匀强电场和大小、方向均未知的匀强电场B1，在第二、三象限内存在水平向右，电场

Question

如图所示，在竖直空间建立直角坐标系xOy，在第一象限和第四象限内存在竖直向上的，电场强度大小为E₁的匀强电场和大小、方向均未知的匀强电场B₁，在第二、三象限内存在水平向右，电场强度大小为E₂的匀强电场和方向水平向里、磁感应强度的大小为B₂的匀强电场．在x轴上坐标为（-d，0）的P点使一质量为m、电荷量为q的带正电的小球以某一速度v沿x轴成37°角的方向射出，小球恰好沿PQ方向匀速运动到y轴上的Q点，该小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，恰好经历半个圆周到达半径为r的(1)/(4)绝缘光滑管MN内壁的M点，再沿圆管的另一端口N点（N点在y轴上），圆管的内直径略大于小球的直径．已知sin=37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）E₁与E₂的大小之比．
（2）磁场B₁的磁感应强度的大小和方向．
（3）小球从P点运动到N点所用的时间．

Answer 1

（1）在第二象限内的匀速直线运动可知，小球的重力电场力和洛伦兹力三力平衡，如图有：
故有：E₂q=mgtan37°…①
小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，故有：
mg=E₁q…②
联立解得：(E1)/(E2)=(1)/(tan37°)=(4)/(3)
（2）小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，轨迹如下图，
由几何关系得：轨道半径满足：sin37°=(r)/(2R)…③
由洛伦兹力提供向心力得：B1qv=(mv2)/(R)…④
由③④解得：B1=(6mv)/(5qr)…⑤
由于粒子带正电，结合运动轨迹及左手定则可得，磁场B₁的方向垂直于纸面向外．
（3）粒子从P到Q的时间为：t1=(d)/(vcos37°)…⑥
做半圆运动的时间为：t2=(πR)/(v)…⑦
做四分之一圆周运动的时间为：t3=(πr)/(2v)…⑧
总时间为t=t₁+t₂+t₃…⑨
联立③⑥⑦⑧⑨得：t=(15d+16πr)/(12v)
答：（1）E₁与E₂的大小之比为(4)/(3)．
（2）磁场B₁的磁感应强度的大小为(6mv)/(5qr)，方向垂直于纸面向外．
（3）小球从P点运动到N点所用的时间为(15d+16πr)/(12v)．