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已知:在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN.(1)如图l,求证:PC=AN;(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延
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已知:在△ABC中,∠ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,A0=MN. (1)如图l,求证:PC=AN; (2) 如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长. |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明见解析(2) |
(1)证明:∵BA⊥AM,MN⊥AP,∴∠BAM=ANM=90°。 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,∴∠PAQ=∠AMN。 ∵PQ⊥AB MN⊥AC,∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA(ASA)。 ∴AN=PQ,AM=AP。∴∠AMB=∠APM。 ∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠PBC。 ∵PQ⊥AB,PC⊥BC,∴PQ=PC(角平分线的性质)。∴PC=AN。 (2)∵NP=2 PC=3,∴由(1)知PC=AN=3。∴AP=NC=5,AC=8。 ∴AM=AP=5。∴ 。 ∵∠PAQ=∠AMN,∠ACB=∠ANM=90°,∴∠ABC=∠MAN。 ∴ 。 ∵ ,∴BC=6。 ∵NE∥KC,∴∠PEN=∠PKC。 又∵∠ENP=∠KCP,∴△PNE∽△PCK。∴ 。 ∵CK:CF=2:3,设CK=2k,则CF=3k。 ∴ , 。 过N作NT∥EF交CF于T, 则四边形NTFE是平行四边形。 ∴NE=TF= ,∴CT=CF-TF=3k- 。 ∵EF⊥PM,∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。 ∴∠BPC=∠BFH。 ∵EF∥NT,∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。 ∴ 。 ∴ , 。 ∴CT= 。∴ 。∴CK=2× =3,BK=BC-CK=3。 ∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK,∠DKE=∠ABC,∴∠BDK=∠PKC。 ∴ 。∴tan∠BDK=1。 过K作KG⊥BD于G。 ∵tan∠BDK=1,tan∠ABC= ,∴设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。 ∴BK=5n=3,∴n= 。∴BD=4n+3n=7n= 。 ∵ ,AQ=4,∴BQ=AB-AQ=6。 ∴DQ=BQ-BD=6- = 。 (1)确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。 (2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定△PKC是等腰直角三角形;然后在△BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。 |
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