在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点．求证：A1O⊥OE．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，E为CC₁中点．求证：A₁O⊥OE．

Answer 1

证明：连接EO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O⊂平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=(√(2))/(2)，tan∠EOC=(√(2))/(2)，∴∠AA₁O=∠EOC，
则∠A₁OA+∠EOC=90°．
∴A₁O⊥OE．