已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an*an+1-an=0(1)求证{1/an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式(2)求数列{2^n/an}前n项和Sn

Question

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an*an+1-an=0
(1)求证{1/an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式
(2)求数列{2^n/an}前n项和Sn

Answer 1

a[n+1]+ana[n+1]-an=0
a[n+1]-an=-ana[n+1]
二边同除以ana[n+1]
1/an-1/a[n+1]=-1
即有1/a[n+1]-1/an=1
故{1/an}是一个首项是1/a1=1,公差是1的等差数列.
故1/an=1+1*(n-1)=n
an=1/n
2.bn=2^n/an=2^n*n
Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n
2Sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+...+n*2^(n+1)
Sn-2Sn=2+2^2+2^3+.+2^n-n*2^(n+1)
-Sn=2*(2^n-1)/(2-1)-2n*2^n
Sn=2(n-1)*2^n+2