如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．…（1分）
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，且A₁O⊂平面AA₁C₁C
∴A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，A₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可知A₁A=A₁C=AC=2，
∵AB=BC，AB⊥BC
∴OB=(1)/(2)AC＝1
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，√(3)），C（0，1，0），C₁（0，2，√(3)），B（1，0，0）
则有：

A1C

＝(0，1，−√(3))，

AA1

＝(0，1，√(3))，

AB

＝(1，1，0)．…（6分）
设平面AA₁B的一个法向量为

n

=（x，y，z），则有

n•

AA1

＝0

n•

AB

＝0

，∴

y+√(3)z＝0

x+y＝0

，
令y=1，得x＝−1，z＝−(√(3))/(3)，所以

n

＝(−1，1，−(√(3))/(3))．…（7分）
∴cos＜

n

，

A1C

＞＝(n•A1C)/(|n||A1C|)＝(√(21))/(7)．…（9分）
因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与

A1C

所成锐角互余，所以sinθ＝(√(21))/(7)．…（10分）