在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，

Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
所以∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
所以∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．
（2）因为△ABC≌△A₁BC₁，
所以BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
(AB)/(BC)＝(BA)/(BC1)，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
所以∠ABA₁=∠CBC₁，
所以△ABA₁∽△CBC₁．
所以，(S△ABA1)/(S△CBC1)=（(AB)/(BC)）²=（(4)/(5)）²=(16)/(25)，
因为S_△ABA1=4，
所以S_△CBC1=(25)/(4)；
（3）如图
，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=(5)/(2)√(2)；
①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=(5)/(2)√(2)-2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=2+5=7．