如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=2（1）求证：B1C∥平面A1BM（2）求证：平面AC1B1⊥平面A1BM．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA₁=√(2)

（1）求证：B₁C∥平面A₁BM
（2）求证：平面AC₁B₁⊥平面A₁BM．

Answer 1

证明：（1）连接AB₁交A₁B于O，连接OM．
在△B₁AC中，∵M，O分别为AC，AB₁的中点，
∴OM∥B₁C．
又∵OM⊂平面A₁BM，B₁C⊄平面A₁BM，
∴B₁C∥平面A₁BM．
（2）∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA₁⊥BM．
又∵M为棱AC中点，AB=BC，∴BM⊥AC．
∵AA₁∩AC=A，∴BM⊥平面ACC₁A₁．
∴BM⊥AC₁．
∵M为棱AC中点，AC=2，∴AM=1．
又∵AA₁=√(2)，∴在RT△ACC₁和RT△A₁AM中，
tan∠ACC₁=tan∠A₁MA=√(2)，
∴∠ACC₁=∠A₁MA，
即∠ACC₁+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°，．
∴A₁M⊥AC₁．∵BM∩A₁M=M，
∴AC₁⊥平面A₁BM．AC₁⊂平面AC₁B₁
平面AC₁B₁⊥平面A₁BM．