已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1．

Question

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1
已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：(a2)/(a+1)+(b2)/(b+1)≥1．

Answer 1

证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a²（b+1）+b²（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a²b+a²+ab²+b²≥ab+a+b+1．
 等价于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a²+b²+ab=（a+b）²=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2√(ab)，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．    …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以 (a2)/(a+1)+(a+1)/(4)≥a，(b2)/(b+1)+(b+1)/(4)≥b．   …（6分）
两式相加得 (a2)/(a+1)+(a+1)/(4)+(b2)/(b+1)+(b+1)/(4)≥a+b，…（8分）
因为  a+b=2，所以 (a2)/(a+1)+(b2)/(b+1)≥1．   …（12分）