已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{an}的通项an；（3）设数列{bn}满足bn=2(n+2)an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足b_n=(2)/((n+2)an)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）由a1=1，nan+1=2Sn(n∈N*)得，a₂=2a₁=2，2a₃=2S₂，则a₃=a₁+a₂=3，
由3a₄=2S₃=2（a₁+a₂+a₃），得a₄=4；
（2）当n＞1时，由na_n+1=2S_n①，得（n-1）a_n=2S_n-1②，
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1），化简得na_n+1=（n+1）a_n，
∴(an+1)/(an)=(n+1)/(n)（n＞1）．
∴a₂=2，(a3)/(a2)=(3)/(2)，…，(an)/(an-1)=(n)/(n-1)，
以上（n-1）个式子相乘得an=2×(3)/(2)×…×(n)/(n-1)=n（n＞1），
又a₁=1，∴an=n(n∈N*)；
（3）∵bn=(2)/((n+2)an)=(2)/((n+2)n)=(1)/(n)-(1)/(n+2)，
∴Tn=(1)/(1)-(1)/(3)+(1)/(2)-(1)/(4)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(n-2)-(1)/(n)+(1)/(n-1)-(1)/(n+1)+(1)/(n)-(1)/(n+2)
=1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2)=(3)/(2)-(2n+3)/((n+1)(n+2))．