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设a1,a2,a3,a4,a5,和b是满足等式a1的平方+a2的平方+a3的平方+a4的平方+a5的平方=b的平方整数,求证a1,a2,a3,a4,a5和b不全是奇数
题目详情
设a1,a2,a3,a4,a5,和b是满足等式a1的平方+a2的平方+a3的平方+a4的平方+a5的平方=b的平方整数,求证a1,a2,a3,a4,a5和b不全是奇数
▼优质解答
答案和解析
证：
【反证法】
假设a1,a2,a3,a4,a5和b全是奇数
则(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²+(a5)²=b²,
(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²=b²-(a5)²
(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²=[b+(a5)][b-(a5)] ①
因为a1,a2,a3,a4都是奇数
所以(a1)²,(a2)²,(a3)²,(a4)²也是奇数
所以 (a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²为奇数
又(a5),b也是奇数,
所以b+(a5)为偶数,(b-a5)为偶数
所以[b+(a5)][b-(a5)]为偶数
显然①的左边为奇数,右边为偶数
所以①不成立,矛盾.
所以假设不成立.
故a1,a2,a3,a4,a5和b不全是奇数
证毕.
【反证法】
假设a1,a2,a3,a4,a5和b全是奇数
则(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²+(a5)²=b²,
(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²=b²-(a5)²
(a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²=[b+(a5)][b-(a5)] ①
因为a1,a2,a3,a4都是奇数
所以(a1)²,(a2)²,(a3)²,(a4)²也是奇数
所以 (a1)²+(a2)²+(a3)²+(a4)²为奇数
又(a5),b也是奇数,
所以b+(a5)为偶数,(b-a5)为偶数
所以[b+(a5)][b-(a5)]为偶数
显然①的左边为奇数,右边为偶数
所以①不成立,矛盾.
所以假设不成立.
故a1,a2,a3,a4,a5和b不全是奇数
证毕.
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