设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．

Question

设函数f（x）=2ax²+2bx，若存在实数x₀∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x₀）=a+b成立，则t的取值范围是___．

Answer 1

f（x）=a+b成立等价于（2x-1）b=（1-2x²）a，
当x=(1)/(2)时，左边=0，右边≠0，不成立，
当x≠(1)/(2)时，（2x-1）b=（1-2x²）a等价于(b)/(a)=(1-2x2)/(2x-1)，
设k=2x-1，则x=(k+1)/(2)，
则(b)/(a)=(1-((k+1)2)/(2))/(k)=(-k2-2k+1)/(2k)=(1)/(2)（(1)/(k)-k-2），
∵x∈（0，t），（t<(1)/(2)），或x∈（0，t）∪（(1)/(2)，t），（t>(1)/(2)），
∴k∈（-1，2t-1），（t<(1)/(2)），或k∈（-1，0）∪（0，2t-1），（t>(1)/(2)），（*）
∵∀a，b∈R，
∴(b)/(a)=(1)/(2)（(1)/(k)-k-2），在（*）上有解，
∴(1)/(2)（(1)/(k)-k-2），在（*）上的值域为R，
设g（k）=(1)/(2)（(1)/(k)-k）-1，则g（k）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，
∴

t>(1)/(2)

2t-1>1

，
解得t>1，
故答案为：（1，+∞）