f(x)在[0,2]上二阶可导,|f'(x)|

Question

f(x)在[0,2]上二阶可导,|f'(x)|<=1且|f''(x)|<=1,求证|f'(x)|<=2.
用泰勒公式做只做出2.5,求大神给予更高级的证法,不要复制知道已有的答案,是错的

Answer 1

想了一个中午,终于想出来了.你是中南的吗?是不是教材144页第14题?
x在[0,1]上时,| f '(x) - f '(1)| = |f ''(E)(x-1)| ,|f ''(E)|<=1,|x-1|<=1 ,所以|f'(x) - f '(1)| <= 1 .
（上面这步我本来时用定积分的出来的,但是考虑到到这里还没学定积分,改用中值定理）
下面讨论f '(1)的范围,用泰勒中值定理.
取x0=1,有f(x) = f(1) +f '(1)(x-1) + f ''(E)(x-1)^2 /2!
则 f(0) = f(1) -f '(1) + f ''(E)/2
f(2) = f(1) +f '(1) + f ''(E)/2
两式相减：f(2)-f(0) = 2f '(1) ,所以 | 2 f '(1) | <=2 ,-1 <= f '(1) <= 1
代入 -1 <= f '(x) - f '(1) <= 1 ,即得出 -1<=f'(x)<=1