已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=f(x)(x＞0)−f(x)(x＜0).（1）若f（-1）=0，且函数f（x）≥0的对任意x属于一切实数成立，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2

Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0)

−f(x)(x＜0).

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）≥0的对任意x属于一切实数成立，求F（x）的表达式；
（2）在 （1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，即b=a+1，
∵函数f（x）≥0对任意x属于一切实数恒成立，即ax²+bx+1≥0对x∈R恒成立，
∴

a＞0

△＝b2−4a≤0

，
∵b=a+1，
∴

a＞0

(a+1)2−4a＝(a−1)2≤0

，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1(x＞0)

−x2−2x−1(x＜0)

；
（2）由（1）可知，f（x）=x²+2x+1，
∵g（x）=f（x）-kx，
∴g（x）=x²+（2-k）x+1=(x−(k−2)/(2))2+1−((k−2)2)/(4)，
∵对称轴为x=(k−2)/(2)，函数g（x）的图象开口向上，
∴g（x）在（-∞，(k−2)/(2)]上是单调递减函数，在[(k−2)/(2)，+∞）上是单调递增函数，
∵g（x）在x∈[