已知函数f（x）=ex+ax-2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1<x2，都有x2•f（x1）-x1•f（x2）<a（x1-x2）成立，则a的取值范围是（）A.[1，+∞）B.[2，+∞）C.（-∞，1]D.（

Question

已知函数f（x）=e^x+ax-2，其中a∈R，若对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁<x₂，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）<a（x₁-x₂）成立，则a的取值范围是（　　）

A. [1，+∞）

B. [2，+∞）

C. （-∞，1]

D. （-∞，2]

Answer 1

∵对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁2，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）1-x₂）成立，
∴不等式等价为(f(x1)+a)/(x1)<(f(x2)+a)/(x2)成立，
令h（x）=(f(x)+a)/(x)，则不等式等价为当x₁<x₂时，h（x₁）<h（x₂）恒成立，
即函数h（x）在（0，+∞）上为增函数；
h（x）=(ex+ax-2+a)/(x)，
则h′（x）=(xex-ex+2-a)/(x2)≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；即a-2≤xe^x-e^x恒成立，
令g（x）=xe^x-e^x，∴g′（x）=xe^x>0；
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴g（x）>g（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．
故选：C