求函数f(x)=sinx/1+x²的值域

Question

求函数f(x)=sinx/1+x²的值域

Answer 1

f(x)=sinx/(1+x²)
sinx为有界奇函数
1/(1+x²)为有界偶函数
∴f(x)为有界奇函数，极值点左右对称
又x->∞时，1/(1+x²) ->0
∴此时 f(x)->0
对f(x)求导得
f'(x)=[cosx(1+x²)-sin*2x]/(1+x²)²
令f'(x)=0可得
2tanx=1/x+x
方程的解就是函数的极值点
但这是个超越方程，解不出来，有空可以画图解
又x->+∞时，f(x)->0
∴f(x)的极大值是递减的
∴方程的最小解xm即对应f(x)的最大值M=f(xm)
若求出具体值M来，则可知
f(x)的值域为[-M,M]