已知函数f(x)=ax^2-e^x若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=ax^2-e^x
若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=2ax-e^x

f(x)有两个极值点

即方程2ax-e^x=0有2个不等实根
设g(x)=2ax-e^x

要求g(x)与x轴有2个不同交点
当a=0时
g(x)=-e^x恒<0,舍去
当a<0时
g'(x)=2a-e^x恒<0
∴g(x)与x轴只有1个交点,舍去
当a>0时
g'(x)=2a-e^x
令2a-e^x>=0
e^x<=2a
x<=ln(2a)
∴g(x)在(-∞,ln(2a)]递增,在[ln(2a),+∞)递减
∴g(x)最大值
=g(ln2a)
=2a*ln(2a)-2a>0
2a(ln(2a)-1)>0
ln2a>1
2a>e
a>e/2
综上a的范围是a>e/2
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g(x)图像如下