计算：∮L（xy-x2）dx+（x-2y2）dy，其中L是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域的正向边界曲线．

Question

计算：

∮

L

（xy-x²）dx+（x-2y²）dy，其中L是由抛物线y=x²和y²=x所围成的区域的正向边界曲线．

Answer 1

由于P=xy-x²，Q=x-2y²，设L所围成的区域为D，则由格林公式，得

∮

L

（xy-x²）dx+（x-2y²）dy=

∫∫

D

(Qx−Py)dxdy
=

∫∫

D

(1−x)dxdy
=

∫

1 0

(1−x)dx

∫

√(x) x2

dy
=[(2)/(3)x(3)/(2)−(2)/(5)x(5)/(2)−(1)/(3)x3+(1)/(4)x4

]

1 0

=(11)/(60)