设函数f（x）=x2，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．（1）求m的值；（2）对于函数h（x）=ax+b（a，b∈R），若存在a，b，使得关于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1

Question

设函数f（x）=x²，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）对于函数h（x）=ax+b（a，b∈R），若存在a，b，使得关于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1对于g（x）定义域上的任意实数x恒成立，求a的最小值以及对应的h（x）的解析式．

Answer 1

（1）令f（x）=g（x），即x²=mlnx（x＞0），
可得(1)/(m)＝(lnx)/(x2)，设p(x)＝(lnx)/(x2)(x＞0)，
则p′(x)＝((1)/(x)•x2−2x•lnx)/(x4)＝(2x((1)/(2)−lnx))/(x4)(x＞0)，
令p'（x）=0，得x＝√(e)．
当x∈(0，√(e))时，p'（x）＞0，p（x）递增；
当x∈(√(e)，+∞)时，p'（x）＜0，p（x）递减．
考虑到x∈（0，1]时，
x∈(1，√(e)]时，p(x)＝(lnx)/(x2)∈(0，p(√(e))]＝(0，(1)/(2e)]；x∈[

作业帮用户 2017-09-24 举报

问题解析

（1）令x²=mlnx（x＞0），得(1)/(m)＝(lnx)/(x2)，设p(x)＝(lnx)/(x2)(x＞0)，令p'（x）=0，得x＝√(e)．再结合函数的单调性，能求出m的值．
（2）由g（x）=2elnx．g（x）≤h（x）≤f（x）+1，可知a＞0．（ⅰ）由x²-ax-b+1≥0对x∈（0，+∞）恒成立，知△=（-a）²-4（-b+1）≤0，解得b≤−(a2)/(4)+1．（ⅱ）由2elnx-ax-b≤0对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），利用导数解得得b≥2eln(2)/(a)．由此能求出对应的h（x）的解析式．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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