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如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),
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如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),
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答案和解析
(1)∵直线l:y= 3 4 x+m经过点B(0,-1), ∴m=-1, ∴直线l的解析式为y= 3 4 x-1, ∵直线l:y= 3 4 x-1经过点C(4,n), ∴n= 3 4 ×4-1=2, ∵抛物线y= 1 2 x 2 +bx+c经过点C(4,2)和点B(0,-1), ∴ 1 2 ×42+4b+c=2 c=1 , 解得 b= 5 4 c=1 , ∴抛物线的解析式为y= 1 2 x 2 - 5 4 x-1; (2)令y=0,则 3 4 x-1=0, 解得x= 4 3 , ∴点A的坐标为( 4 3 ,0), ∴OA= 4 3 , 在Rt△OAB中,OB=1, ∴AB= OA2+OB2 = ( 4 3 )2+12 = 5 3 , ∵DE∥y轴, ∴∠ABO=∠DEF, 在矩形DFEG中,EF=DEcos∠DEF=DE OB AB = 3 5 DE, DF=DEsin∠DEF=DE OA AB = 4 5 DE, ∴p=2(DF+EF)=2( 4 5 + 3 5 )DE= 14 5 DE, ∵点D的横坐标为t(0<t<4), ∴D(t, 1 2 t 2 - 5 4 t-1),E(t, 3 4 t-1), ∴DE=( 3 4 t-1)-( 1 2 t 2 - 5 4 t-1)=- 1 2 t 2 +2t, ∴p= 14 5 ×(- 1 2 t 2 +2t)=- 7 5 t 2 + 28 5 t, ∵p=- 7 5 (t-2) 2 + 28 5 ,且- 7 5 <0, ∴当t=2时,p有最大值 28 5 ; (3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°, ∴A 1 O 1 ∥y轴时,B 1 O 1 ∥x轴,设点A 1 的横坐标为x, ①如图1,点O 1 、B 1 在抛物线上时,点O 1 的横坐标为x,点B 1 的横坐标为x+1, ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 (x+1) 2 - 5 4 (x+1)-1, 解得x= 3 4 , ②如图2,点A 1 、B 1 在抛物线上时,点B 1 的横坐标为x+1,点A 1 的纵坐标比点B 1 的纵坐标大 4 3 , ∴ 1 2 x 2 - 5 4 x-1= 1 2 (x+1) 2 - 5 4 (x+1)-1+ 4 3 , 解得x=- 7 12 . 综上所述,点A 1 的横坐标为 3 4 或- 7 12 .
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