一道矩阵题设矩阵A=12-3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似-14-3对角化1a5

Question

一道矩阵题
设矩阵A=【 1 2 -3 的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似
-1 4 -3 对角化
1 a 5】

Answer 1

|A-λE| =
1-λ 2 -3
-1 4-λ -3
1 a 5-λ
r2-r1
1-λ 2 -3
-2+λ 2-λ 0
1 a 5-λ
c2+c1
1-λ 3-λ -3
-2+λ 0 0
1 a+1 5-λ
= (2-λ)[(3-λ)(5-λ)+3(a+1)]
= (2-λ)[λ^2-8λ+3a+18]
由已知,A的特征方程有一个二重根,下分两种情况:
(1) 2是A的特征方程的二重根
则 2^2-8*2+3a+18 = 0.
得 a = -2.
此时,A-2E =
-1 2 -3
-1 2 -3
1 2 3
r(A-2E) = 1.故此时A可对角化.
(2) 2是A的特征方程的单根
则 λ^2-8λ+3a+18 是一个完全平方
其判别式 (-8)^2 - 4(3a+18) = 0
得 a = -2/3
λ^2-8λ+3a+18 = (λ-4)^2
此时 4 是A的二重特征值.
A-4E =
-3 2 -3
-1 1 -3
1 -2/3 1
r(A-4E)>=2.故此时A不能对角化.
若有更好的方法请消息我!