如图所示，矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有电阻R，开始时导体棒处于x=0处，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系B=B0sin（πx2l）

Question

如图所示，矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有电阻R，开始时导体棒处于x=0处，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系B=B₀sin（(πx)/(2l)）．一光滑导体棒AB与短边平行且与长边接触良好，其电阻为R，且R=2.0Ω，开始时导体棒处于x=0，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的力F作用下做速度v=5.0m/s的匀速运动，若B₀=√(2)T，l=3.0m，忽略裸导线框的电阻．求：导体棒AB从x=0到x=2l的过程中
（1）力F随时间t变化的规律：
（2）回路产生的热量；
（3）通过左端电阻R的电量．

Answer 1

（1）根据题意，在t时刻AB棒的坐标为 x=vt；    
动生电动势：e=Blv=B₀lvsin(πvt)/(2l)；                
等效电路为：金属棒相当与电源，两个电阻R并联，故回路总电阻：R_总=R+(1)/(2)R=(3)/(2)R；                
所以回路总电流i=(e)/(R总)=(2B0lvsin(πvt)/(2l))/(3R)        
因为棒匀速运动，则有F=F_安=BIL                 
解得：F=(2B20l2vsin2(πvt)/(2l))/(3R)（0≤t≤(2l)/(v)）
代入数据得：F＝30sin2(5π)/(6)t(N)，(0≤t≤1.2s)
（2）导体棒AB在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电，电流的有效值为：
I_有=(Im)/(√(2))=(2B0lv)/(3R)×(1)/(√(2))=(√(2)B0lv)/(3R)              
根据  Q=I有2R总t
解得：Q=(2B02l3v)/(3R)=90J                       
（3）将题设过程与“面积为S的线圈在磁感应强度为B₀的匀强磁场中从中性面的初始位置起以角速度ω匀速转动半圈”相类比，并以此等效代换题设过程．
即e＝lvB0sin((πv)/(2l)t)和e=sωB₀sinωt类比                     
有Em＝lvB0＝SωB0，ω＝(πv)/(2l)，φm＝sB0＝(Em)/(ω)＝(2B0L2)/(π)，△φ＝2φm
则平均电动势

.

E

＝(△φ)/(△t)，

.

I

＝(.E)/(R总)，

.

I

＝(q)/(△t)
三式联立得qR＝(1)/(2)q＝(△φ)/(2R总)＝(4B0L2)/(3πR)＝(6√(2))/(π)C≈2.7C
故通过左端电阻R的电量约为2.7C．
答：（1）力F随时间t变化的规律：F＝30sin2(5π)/(6)t(N)，(0≤t≤1.2s)；
（2）回路产生的热量为90J；
（3）通过左端电阻R的电量2.7C．