如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AB=AC=AA1=1．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B-AC1-B1的余弦值．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，且AB=AC=AA₁=1．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AC=AA₁，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有AC⊥AA₁，
∴A₁C⊥AC₁，
∵AB⊥AC，且在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AB⊥AA₁，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
又A₁C⊂平面AA₁C₁C，∴A₁C⊥AB，
又AC₁∩AB=A，∴A₁C⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）以A为原点，AC，AB，AA₁所在的直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，1，1）C₁（1，0，1），C（1，0，0），
由（Ⅰ）知A₁C⊥平面ABC₁，
∴平面ABC₁的一个法向量为

A1C

=（1，0，-1），
设平面AB₁C₁的法向量

n

＝(x，y，z)，
∵

AC1

＝(1，0，1)，

AB1

＝(0，1，1)，
∴√(n•作业帮用户2017-11-12举报问题解析（Ⅰ）由已知条件推导出A1C⊥AC1，从而得到AB⊥平面AA1C1C，由此能证明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC1-B1的余弦值．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．考点点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)