如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I，J，L，M，N分别是所在棱的中点，求证：（1）E，F，G，H，I，J共面；（2）平面LMN∥平面EFGHIJ．

Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G，H，I，J，L，M，N分别是所在棱的中点，求证：

（1）E，F，G，H，I，J共面；
（2）平面LMN∥平面EFGHIJ．

Answer 1

（1）证明：连接AC，A₁C₁，
∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁，
又∵EF∥AC，IH∥A₁C₁，
∴EF∥IH，∴EF、IH共面；
同理，EJ、GH共面，FG、JI共面；
∴E，F，G，H，I，J共面；
（2）证明：∵MN∥A₁C₁，IH∥A₁C₁，
∴MN∥IH，
又∵MN⊄平面HIJ，IH⊂平面HIJ，
∴MN∥平面HIJ，
同理，NL∥平面HIJ，
且MN∩NL=N，MN⊂平面MNL，NL⊂平面MNL，
∴平面LMN∥平面EFGHIJ．