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如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C
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如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（ ）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
▼优质解答
答案和解析
对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A-D1PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，
所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．
对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A-D1PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，
所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．
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