如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁．
（Ⅰ） 求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（Ⅱ） 若D为B₁C₁的中点，求AD与平面A₁BC₁所成的角．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知四边形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥BA₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又∵A₁C₁⊥A₁B₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∴A₁C₁⊥AB₁．
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．…（7分）
（Ⅱ） 设AB₁与A₁B相交于点O，则点O是线段AB₁的中点．
连接AC₁，由题意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中线知：AD与C₁O的交点为重心G，连接OG．
由（Ⅰ） 知AB₁⊥平面A₁BC₁，
∴OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
∴∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成的角．
在直角△AOG中，
AG=(2)/(3)AD=(√(3))/(3)AB₁=(√(6))/(3)AB，AO=(√(2))/(2)AB，
∴sin∠AGO=(AO)/(AG)=(√(3))/(2)．
∴∠AGO=60°，
即AD与平面A₁BC₁所成的角为60°．…（15分）